Question

（2007•深圳二模）已知

a

=(cosx+sinx，sinx)，

b

=(cosx-sinx，2cosx)，設(shè)f(x)=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值，并指出此時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=(cosx+sinx，sinx)，

b

=(cosx-sinx，2cosx)，我們可以求出f(x)=

a

•

b

的解析式，利用除冪公式（逆用二倍角公式）及和差角公式，我們可將函數(shù)解析式化為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由（I）中函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)函數(shù)f（x）的最大值及對應(yīng)x值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

=（cosx+sinx）•（cosx-sinx）+sinx•2cosx…（2分）
=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x…（4分）
=

2

(

2

2

•cos2x+

2

2

•sin2x)
=

2

sin(2x+

π

4

)…（6分）
∴f（x）的最小正周期T=π．             …（7分）
（Ⅱ）∵-

π

4

≤x≤

π

4

，
∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，…（9分）
∴當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時(shí)，f（x）有最大值

2

．      …（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積，兩角和與差的正弦函數(shù)，二倍角的正弦，二倍角的余弦，三角函數(shù)的周期性及其求示，正弦函數(shù)的定義域和值域，是向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．