Question

14．已知函數g（x）是y=a^x（a＞0且a≠1）的反函數，若函數f（x）=b+g（x）的定義域和值域都是[1，3]，則$\frac{a}$=（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{9}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{9}$
• D． $\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 求出g（x）的解析式，對底數a討論，根據定義域和值域都是[1，3]，求出a，b的值，可得$\frac{a}$的值．

解答 解：由題意：函數g（x）是y=a^x（a＞0且a≠1）的反函數，
∴g（x）=log_ax（a＞0且a≠1）
當0＜a＜1時，函數g（x）是減函數，
那么：f（x）=b+g（x）=log_ax+b也是減函數．
∵定義域和值域都是[1，3]，
故得：$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}1+b=3}\\{lo{g}_{a}3+b=1}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=3
那么：$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
當a＞1時，函數g（x）是增函數，
那么：f（x）=b+g（x）=log_ax+b也是增函數．
∵定義域和值域都是[1，3]，
故得：$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}1+b=1}\\{lo{g}_{a}3+b=3}\end{array}\right.$，
解得：a=$\sqrt{3}$，b=1
那么：$\frac{a}$=$\sqrt{3}$
故選B．

點評 本題考查了反函數的求法和對數函數的單調性的討論．屬于中檔題．