Question

設F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，P為橢圓上的任意一點，滿足|PF₁|+|PF₂|=8，△PF₁F₂的周長為12．
（1）求橢圓的方程；
（2）求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程,平面向量數量積的運算

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由已知得2a=8，2a+2c=12，由此能求出橢圓方程．
（2）設P（x，y），則

PF1

•

PF2

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=

1

4

x2+8，由此能求出

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．

解答： 解：（1）由已知得2a=8，2a+2c=12，
解得a=4，c=2，
∴b²=16-4=12，
∴橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）∵橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1，
∴F₁（-2，0），F₂（2，0），
設P（x，y），
則

PF1

•

PF2

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）
=x²+y²-4
=x²+12-

3

4

x2-4
=

1

4

x2+8，
∵x∈[-4，4]，∴x²∈[0，16]，
∴8≤

PF1

•

PF2

≤12，
點P為橢圓短軸端點時，

PF1

•

PF2

有最小值8，
點P為橢圓長軸端點時，

PF1

•

PF2

有最大值12．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查

PF1

•

PF2

的最大值和最小值的求法，解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用．