Question

【題目】已知數列滿足，，.

（1）若，，，求的取值范圍；

（2）若是公比為的等比數列，，，，求的取值范圍；

（3）若成等差數列，且，求正整數的最大值.

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）

【解析】

（1）由題意得，又，將已知代入可求出的范圍；

（2）先求出通項，由求出，對分類討論求出，分別代入不等式，得到關于的不等式組，解不等式組求出的范圍；

（3）由題意得到關于的不等式，得出的最大值，并得出取最大值時的公差

解：（1）由題意得，，所以，

又因為，所以，得，

綜上所述，

（2）由已知得，，

所以，

當時，，，即，成立，

當時，，，即，

，得，

因為，故，

對于不等式，令，得，

解得，

又當，，

所以成立

所以，

當時，，，

即，

所以，

因為，

所以，

，

所以當時，不等式恒成立，

綜上所述，的取值范圍為

（3）設的公差為，由，且，

得，

即，

當時，，

當時，由，得，
所以，

所以，

即，得，

所以的最大值為