Question

【題目】已知圓，圓內(nèi)一定點，動圓過點且與圓內(nèi)切.記動圓圓心的軌跡為.

（Ⅰ）求軌跡方程；

（II）過點的動直線l交軌跡于M，N兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點Q，使得以線段MN為直徑的圓恒過點Q？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(I) ；(II)存在，恒過點Q(0，1).

【解析】

（Ⅰ）由題意可知：，P點軌跡是以A、B為焦點的橢圓，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）利用特例先確定定點Q，再推廣到一般情況即可.

解:（Ⅰ）解：設(shè)動圓圓心，半徑為.

，

故點的軌跡為橢圓，

，

，

故圓心的軌跡方程為

(II)當(dāng)l與x軸平行時，以線段MN為直徑的圓的方程為x2＋＝；

當(dāng)l與y軸平行時，以線段MN為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1.

由得

故若存在定點Q，則Q的坐標(biāo)只可能為Q(0，1).

下面證明Q(0，1)為所求：

若直線l的斜率不存在，上述已經(jīng)證明.

若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y＝kx－，

M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，

Δ＝144k2＋64(9＋18k2)＞0，

x1＋x2＝，x1x2＝，

＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，

＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)

＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋

＝(1＋k2)·－·＋＝0，

∴⊥，即以線段MN為直徑的圓恒過點Q(0，1).