Question

已知棱長為2的正方體內接于球O，則正方體任意棱的兩個端點的球面距離為

3

arccos

1

3

．（用反三角表示）

Answer 1

分析：由已知中棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的八個頂點都在球O的表面上，我們可以求出球O的半徑，進而根據AA₁，解三角形AOA₁，求出∠AOA₁的大小，進而根據弧長公式，即可求出答案．

解答：解：設棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的八個頂點都在球O的表面上，
故球O的直徑等于正方體的對角線長
即2R=2

3

∴R=

3

又∵AA₁=2，根據余弦定理得cos∠AOA₁=

2• 3 2-22

2• 3 • 3

=

1

3

，
∴∠AOA₁=arccos

1

3

，
則A，A₁兩點之間的球面距離為

3

•arccos

1

3

．
故答案為：

3

arccos

1

3

．

點評：本題考查的知識點是球內接多面體，球面距離，其中根據已知條件求出球的關徑，及弧AA₁對應的圓心角的度數是解答本題的關鍵．