Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，其中|$\overrightarrow{a}$=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角是（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 根據兩向量垂直，其數量積為0，列出方程求出夾角的余弦值，即可得出夾角的大小．

解答 解：設向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夾角為θ，
∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，
且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即${（\sqrt{2}）}^{2}$-$\sqrt{2}$×2×cosθ=0，
解得cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又θ∈[0，π]，
∴θ=$\frac{π}{4}$，
即向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角是$\frac{π}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查了向量的夾角以及數量積公式的計算問題，是基礎題目．