Question

在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，若a，b，c是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，且sinB=

7

4

，則cosA-cosC=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡(jiǎn)得到①，設(shè)設(shè)cosA-cosC=x，②，①²+②²，得到③，由a，b，c的大小判斷出A，B，C的大小，確定出cosA大于cosC，利用誘導(dǎo)公式求出cos（A+C）的值，代入③求出x的值，即可確定出cosA-cosC的值．

解答： 解∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，
由正弦定理化簡(jiǎn)得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=

7

2

，①
設(shè)cosA-cosC=x，②
①²+②²，得2-2cos（A+C）=

7

4

+x²，③
又a＜b＜c，A＜B＜C，
∴0＜B＜90°，cosA＞cosC，
∴cos（A+C）=-cosB=-

3

4

，
代入③式得x²=

7

4

，
則cosA-cosC=

7

2

．
故答案為：

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．