Question

15．已知首項為$\frac{3}{2}$的等比數列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N*），且-2S₂，S₃，4S₄成等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$（n∈N*），求數列{T_n}的最大項．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等比數列的通項公式和等差數列的性質求出公比，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由S_n=1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，得T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$=1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ+$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，根據n為奇數和n為偶數，分類討論經，能求出數列{T_n}的最大項．

解答 解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，
∵-2S₂，S₃，4S₄等差數列，
∴2S₃=-2S₂+4S₄，即S₄-S₃=S₂-S₄，
得2a₄=-a₃，∴q=-$\frac{1}{2}$，
∵a₁=$\frac{3}{2}$，∴a_n=$\frac{3}{2}$•（-$\frac{1}{2}$）^n-1=（-1）^n-1•$\frac{3}{{2}^{n}}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，S_n=$\frac{\frac{3}{2}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1+\frac{1}{2}}$=1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$=1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ+$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，
當n為奇數時，T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$=1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ+$\frac{1}{1+（\frac{1}{2}）^{n}}$=1+$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{{2}^{n}}{1+{2}^{n}}$=2+$\frac{1}{{2}^{n}（{2}^{n}+1）}$，
當n為偶數時，T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ+$\frac{1}{1-（\frac{1}{2}）^{n}}$=2+$\frac{1}{{2}^{n}（{2}^{n}-1）}$，
T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$隨著n的增大而減小，
即T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$≤S₁+$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{13}{6}$，T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$≤${S}_{2}+\frac{1}{{S}_{2}}$=$\frac{25}{12}$，
綜上，有T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$≤$\frac{13}{6}$（n∈N*）成立．
∴數列{T_n}的最大項為T₁=$\frac{13}{6}$．

點評 本題考查數列的通項公式、前n項和的最大項的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列、等比數列的性質的合理運用．