Question

已知三次函數(shù)f（x）=x³-

3

2

ax²+b（a，b∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線斜率為-1，且f（x）在區(qū)間[-1，1]上最大值為-1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若a＞0，解關(guān)于x的不等式f′（x）＞3x²+

1

x

-（a+3）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線斜率為-1，且f（x）在區(qū)間[-1，1]上最大值為-1，求出a，b，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）不等式f′（x）＞3x²+

1

x

-（a+3）可化為不等式-3ax＞

1

x

-（a+3），即

(3x-1)(ax-1)

x

＞0，分類討論，即可解不等式．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-

3

2

ax²+b，
∴f′（x）=3x²-3ax，
∵y=f（x）在點（1，f（1））處切線斜率為-1，
∴3-3a=-1，
∴a=

4

3

，
∴f′（x）=3x（x-

4

3

），
∵f（x）在區(qū)間[-1，1]上最大值為-1，
∴f（0）=b=-1，
∴f（x）=x³-2x²-1；
（2）不等式f′（x）＞3x²+

1

x

-（a+3）可化為不等式-3ax＞

1

x

-（a+3），
∴

(3x-1)(ax-1)

x

＞0，
0＜a＜3時，不等式的解集為{x|0＜x＜

1

3

或x＞

1

a

}；
a=3時，不等式的解集為{x|x＞0且x≠

1

a

}；
a＞3，不等式的解集為{x|0＜x＜

1

a

或x＞

1

3

}．

點評：本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查解不等式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．