Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，b=c，且滿足

sinB

sinA

=

1-cosB

cosA

．若點O是△ABC外一點，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，平面四邊形OACB面積的最大值是（　　）

• A、

  8+5 3

  4

• B、

  4+5 3

  4

• C、3
• D、

  4+5 3

  2

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：依題意，可求得△ABC為等邊三角形，利用三角形的面積公式與余弦定理可求得S_OACB=2sin（θ-

π

3

）+

5 3

4

（0＜θ＜π），從而可求得平面四邊形OACB面積的最大值．

解答：解：∵△ABC中，

sinB

sinA

=

1-cosB

cosA

，
∴sinBcosA+cosBsinA=sinA，即sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=sinA，
∴A=C，又b=c，
∴△ABC為等邊三角形；

∴S_OACB=S_△AOB+S_△ABC
=

1

2

|OA|•|OB|sinθ+

1

2

×|AB|²×

3

2

=

1

2

×2×1×sinθ+

3

4

（|OA|²+|OB|²-2|OA|•|OB|cosθ）
=sinθ+

3

4

（4+1-2×2×1×cosθ）
=sinθ-

3

cosθ+

5 3

4

=2sin（θ-

π

3

）+

5 3

4

，
∵0＜θ＜π，
∴-

π

3

＜θ-

π

3

＜

2π

3

，
∴當θ-

π

3

=

π

2

，即θ=

5π

6

時，sin（θ-

π

3

）取得最大值1，
∴平面四邊形OACB面積的最大值為2+

5 3

4

=

8+5 3

4

．
故選：A．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查余弦定理的應用，求得S_OACB=2sin（θ-

π

3

）+

5 3

4

是關鍵，也是難點，考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于難題．