Question

已知f（x）=x³-3x+3+m（m＞0），在區間[0，2]上存在三個不同的實數a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形是構成直角三角形，則m的取值范圍是（　　）

• A、m＞3+4

  2

• B、0＜m＜3+4

  2

• C、0＜m＜2

  2

  -1
• D、m＞2

  2

  -1

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：利用導數求得f（x）=x³-3x+3+m（m＞0），在區間[0，2]上的最小值、最大值，由題意構造不等式解得范圍．

解答：解：f（x）=x³-3x+3+m，求導f′（x）=3x²-3由f′（x）=0得到x=1或者x=-1，
又x在[0，2]內，∴函數f（x）在區間（0，1）單調遞減，在區間（1，2）單調遞增，
則f（x）_min=f（1）=m+1，f（x）_max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．
∵在區間[0，2]上存在三個不同的實數a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形是構成直角三角形，
∴（m+1）²+（m+1）²＜（m+5）²，即m²-6m-23＜0，解得3-4

2

＜m＜3+4

2

又已知m＞0，∴0＜m＜3+4

2

．
故選：B．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性求得最值的知識，考查不等式的構造及其求法，屬中檔題．