Question

二項式(

1

3 x

-

x

2

)n展開式中第五項的二項式系數是第三項系數的4倍．求：
（1）n；
（2）展開式中的所有的有理項．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出通項，求出第五項的二項式系數與第三項系數，列出方程求出n
（2）將n的值代入通項，當x的指數為整數時，為有理項，令r=0，3，6求出展開式的有理項．

解答：解：（1）展開式的通項為Tr+1=(-

1

2

)r

C

r n

x

4r-n

3

據題意有C_n⁴=4C_n²
解得n=6
（2）展開式的通項為Tr+1=(-

1

2

)r

C

r 6

x

4r-6

3

=(-

1

2

)r

C

r 6

x

4r

3

-2
當r是3的倍數時，為有理項
所以r=0，3，6
T1=x-2，T4=-

5

2

x2，T7=

x6

64

點評：解決二項展開式的特定項問題常利用的工具是二項展開式的通項公式．