Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，是中點．

（1）求點到平面的距離；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）根據勾股定理可證明平面，從而可分別以為軸、軸，軸，建立空間直角坐標系，先求的方向向量，再出利用向量垂直數量積為零列方程組求出平面的一個法向量，從而可得線面成角的正弦值，進而可得結果；（2）利用向量垂直數量積為零列方程組求出平面的一個法向量，結合（1）的結論，利用空間向量夾角余弦公式可得二面角的余弦值.

試題解析：∵正方形邊長，

∴，∴，∴平面，

∴分別以為軸、軸，軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

∴，

（1）設平面的一個法向量，

則，令，得，

∴與平面所成角的正弦值，

∴點到平面的距離為；

（2）設平面的一個法向量，

則，令，得，

∴，∴二面角的余弦值為．

【方法點晴】本題主要考查利用空間向量求二面角與線面角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.