Question

【題目】如圖，在銳角中，垂心關于邊、、的對稱點分別為、、，關于邊、、的中點、、的對稱點分別為、、.證明：

（1）、、、、、六點共圓；

（2）；

（3）.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

證明：（1）如圖，作的外接圓.

下面證明：、、、、、均在上.

由為的垂心關于邊的對稱點，則.

故

.

因為是的對頂角，且，

所以四邊形中，

.

這表明，點、、、同在上.

類似地，點、也在上.

再由點為關于邊在中點的對稱點，則.

又，得四邊形為平行四邊形.

從而，.

易知，.

故.

因此，點在上.

類似地，點、也在上.

（2）由，，得.

因此，為的一條直徑，即為點關于的對稱點.

類似地，為點關于的對稱點，為點關于的對稱點.

故，，

.

（3）由為的中位線知，.

類似地，

，；

，.

則，

因此，相似比為.

從而，.