Question

【題目】已知函數，（，，為常數，為自然對數的底數）.

（1）當時，討論函數在區間上極值點的個數；

（2）當，時，對任意的都有成立，求正實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）當時，，記，利用導數研究在函數值的情況，將在區間上極值點的個數轉化為根的個數問題，分類討論即可得到；

（2）當，時，對任意的都有，即，即，記，，利用導數分別研究的最值，即可得到答案.

（1）當時，，記，

則，

當時，，時，，

所以當時，取得極小值，又，，，

當，即時，，函數在區間上無極值點；

當即時，有兩不同解，

函數在區間上有兩個極值點；

當即時，有一解，

函數在區間上有一個極值點；

當即時，，函數在區間上無極值點.

（2）當，時，對任意的都有，

即，即

記，，

由，當時，當時，，

所以當時，取得最大值，最大值為，

又，當時，，當時，，

所以當時，取得最小值，所以只需要，即正實數的取值范圍是.