Question

若函數f（x）=

1

3

x³-ax²+ax在（0，1）內有極大值，在（1，2）內有極小值，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、0＜a＜

  4

  3

  ．
• B、1＜a＜

  4

  3

  ．
• C、a＞1或a＜0．
• D、0＜a＜1．

Answer 1

分析：對函數f（x）=

1

3

x³-ax²+ax求導，根據函數f（x）=

1

3

x³-ax²+ax在（0，1）內有極大值，在（1，2）內有極小值，轉化為f′（x）的圖象在區間（0，1）和（1，2）上與x軸各有一個交點，根據二次函數根的分布求出實數a的取值范圍．

解答：解：f′（x）=x²-2ax+a
∵函數f（x）=

1

3

x³-ax²+ax在（0，1）內有極大值，在（1，2）內有極小值，
∴f′（x）=x²-2ax+a在（0，1）和（1，2）上各有一個零點，
∴

f′(0)=a＞0 f′(1)=1-a＜0 f′(2)=4-3a＞0

，解得1＜a＜

4

3

，
故選B．

點評：考查利用導數研究函數的極值問題，轉化為二次函數根的分布問題，體現了轉化的思想方法；求有關二次函數根的分布問題，體現了數形結合的思想，屬中檔題．