Question

有下列五種說法：
①函數y=f（-x+2）與y=f（x-2）的圖象關于y軸對稱；
②函數y=(

1

2

)x2+2x的值域是[2，+∞）；
③若函數f（x）=log₂|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上單調遞增，則f（-2）＞f（a+1）；
④若f（x）=

(3a-1)x+4a，(x＜1) logax，(x≥1)

是（-∞，+∞）上的減函數，則a的取值范圍是（0，

1

3

）；
⑤設方程 2^-x=|lgx|的兩個根為x₁，x₂，則  0＜x₁x₂＜1．
其中正確說法的序號是

⑤

．

Answer 1

分析：命題①利用函數的對稱變換和平移變換進行分析；
命題②利用復合函數，先求出指數的范圍，再求復合函數的值域；
命題③先利用復合函數的單調性求出a的范圍，然后利用函數是偶函數把f（-2）轉化為f（2）比較大小；
命題④是分段函數，保證函數在每一段上都是減函數，且第一段的最小值要大于等于第二段的最大值；
命題⑤通過畫圖分析知一個根小于1，一個根大于1，把兩個根代入方程后取絕對值相加，整理后可得0＜x₁x₂＜1．

解答：解：由f（-x+2）=f[-（x-2）]，所以函數y=f（-x+2）的圖象是把函數y=f（-x）的圖象向右平移2個單位得到的，
y=f（x-2）的圖象是把y=f（x）的圖象向右平移2個單位得到的，而y=f（x）與y=f（-x）的圖象關于y軸軸對稱，
所以，函數y=f（-x+2）與y=f（x-2）的圖象關于直線x=2對稱．所以，命題①錯誤；
令x²+2x=t，則函數函數y=(

1

2

)x2+2x化為y=(

1

2

)t，又t=x²+2x=（x+1）²-1≥-1，
0＜(

1

2

)t≤2，即函數y=(

1

2

)x2+2x的值域是（0，2]．所以命題②錯誤；
函數f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上單調遞增，因為t=|x|在（0，+∞）上單調遞增，所以，
函數y=log_at也在（0，+∞）上單調遞增，則a＞1，a+1＞2．又因為函數f（x）=log₂|x|是偶函數，
所以f（-2）=f（2），則f（-2）=f（2）＜f（a+1）．所以，命題③錯誤；
由f（x）=

(3a-1)x+4a，(x＜1) logax，(x≥1)

是（-∞，+∞）上的減函數，則

3a-1＜0 0＜a＜1 (3a-1)+4a≥loga1

，
解得：

1

7

≤a＜

1

3

．所以，命題④錯誤；
令y1=2-x，y₂=|lgx|，
在平面直角坐標系中作出這兩個函數的圖象如圖，
不妨設A點的橫坐標為x₁，B點的橫坐標為x₂，則x₁＜1＜x₂，
由

1

2x1

=|lgx1|=-lgx1，得lgx1=-

1

2x1

，
lgx2=|lgx2|=

1

2x2

，得：lgx1x2=lgx1+lgx2=

1

2x2

-

1

2x1

=

2x1-2x2

2x12x2

＜0．
所以，0＜x₁x₂＜1．所以，命題⑤正確．
故答案為⑤．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，綜合考查了函數圖象的平移和對稱變換，復合函數的值域以及函數的單調性等特性，考查了方程的根和函數零點的關系，此題是中檔題．