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已知cot2α=1+2cot2β，求證：sin2β=2-2cos2α．

解：cot2α=1+2cot2β 可得
就是cos2αsin2β-sin2αsin2β=2cos2βsin2α
∴cos2αsin2β-sin2αsin2β=2（1-sin2β）sin2α
cos2αsin2β+sin2αsin2β=2sin2α
∴sin2β=2sin2α
即：sin2β=2-2cos2α．所以等式成立．
分析：直接利用切化弦，化簡(jiǎn)cot2α=1+2cot2β，去掉分母，利用平方關(guān)系求得sin2β，即可整理出要證等式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查切化弦，同分，三角函數(shù)的平方關(guān)系式的應(yīng)用，是條件等式的證明，解題思路，一般邊化簡(jiǎn)邊觀察要證等式，明確目標(biāo)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知cot2α=1+2cot2β，求證：sin2β=2-2cos2α．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知問(wèn)題“設(shè)正數(shù)x，y滿足
1
x
+
2
y
=1，求x+y的最值”有如下解法；
設(shè)
1
x
=cos2α，
2
y
=sin2α，α∈(0，
π
2
)，
則x=sec2α=1+tan2α，y=2csc2α=2（1+cot2α），
所以，x+y=3+tan2α+2cot2α=3+tan2+
2
tan2α
≥3+2
2
，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)tan2α=
2
tan2α
，即tan2α=
2
，此時(shí)x=1+
2
，y=2+
2
．
（1）參考上述解法，求函數(shù)y=
1-x
+2
x
的最大值．
（2）求函數(shù)y=2
x+1
-
x
(x≥0)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：全優(yōu)設(shè)計(jì)必修四數(shù)學(xué)蘇教版 蘇教版 題型：022

已知cot2α＝2tan2β＋1，那么sin2β＋2sin2α＝________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（第3章 三角函數(shù)與三角恒等變換）：3.9 三角條件等式的證明（解析版） 題型：解答題

已知cot2α=1+2cot2β，求證：sin2β=2-2cos2α．

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