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已知cot2α=1+2cot2β，求證：sin2β=2-2cos2α．
分析：直接利用切化弦，化簡cot2α=1+2cot2β，去掉分母，利用平方關系求得sin2β，即可整理出要證等式．
解答：解：cot2α=1+2cot2β 可得
cos2α
sin2α
-1=
2cos2β
sin2β

就是cos2αsin2β-sin2αsin2β=2cos2βsin2α
∴cos2αsin2β-sin2αsin2β=2（1-sin2β）sin2α
cos2αsin2β+sin2αsin2β=2sin2α
∴sin2β=2sin2α
即：sin2β=2-2cos2α．所以等式成立．
點評：本題考查切化弦，同分，三角函數的平方關系式的應用，是條件等式的證明，解題思路，一般邊化簡邊觀察要證等式，明確目標．
練習冊系列答案
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已知問題“設正數x，y滿足
1
x
+
2
y
=1，求x+y的最值”有如下解法；
設
1
x
=cos2α，
2
y
=sin2α，α∈(0，
π
2
)，
則x=sec2α=1+tan2α，y=2csc2α=2（1+cot2α），
所以，x+y=3+tan2α+2cot2α=3+tan2+
2
tan2α
≥3+2
2
，等號成立當且僅當tan2α=
2
tan2α
，即tan2α=
2
，此時x=1+
2
，y=2+
2
．
（1）參考上述解法，求函數y=
1-x
+2
x
的最大值．
（2）求函數y=2
x+1
-
x
(x≥0)的最小值．

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