Question

【題目】已知函數(shù),

（Ⅰ）若在上的最大值為，求實(shí)數(shù)b的值；

（Ⅱ）若對任意x∈[1，e]，都有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)，對任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=F（x）上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）存在

【解析】

試題（1）解決類似的問題時，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值．知道函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得；（2）對于恒成立的問題，常用到以下兩個結(jié)論：（1），（2）；（3）對于是否存在問題先假設(shè)存在，如推出矛盾則不存在，若不矛盾則存在

試題解析：（Ⅰ）解：由，得得f′（x）=-3x2+2x=-x（3x-2），令f′（x）=0，得x=0或

當(dāng)x變化時（Ⅰ）若在上的最大值為，求實(shí)數(shù)b的值列表如下：

x			0
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）		單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

即最大值為

（2）由，得

且等號不能同時取得，，即

恒成立，即

令，則

當(dāng)，從而

在上為增函數(shù)，

（3）由條件

假設(shè)曲線y=F（x）上是否存在兩點(diǎn)P、Q滿足題意，則P,Q只能在y軸的兩側(cè)，不妨設(shè)則，是以是坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，是否存在等價于該方程t>0且是否有根

當(dāng)時，方程可化為化簡得此方程無解；

若時，方程即設(shè)，顯然，當(dāng)時，即在上是增函數(shù)，值域是，即，所以當(dāng)時方程總有解，即對于任意正實(shí)數(shù)a曲線y=F（x）上總存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上．