Question

已知數列{x_n}，{y_n}滿足x₁=x₂=1，y₁=y₂=2，并且（λ為非零參數，n=2，3，4，…）．
（1）若x₁，x₃，x₅成等比數列，求參數λ的值；
（2）當λ＞0時，證明；當λ＞1時，證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據把x1=x2=1代入求得x3，同理可求得x₄=λ³，x₅=λ⁶，進而根據等比中項的性質求得λ．
（2）根據根據不等式性質可知有_≥…≥=λ^n-1；_=…=λ^n-1
進而可得出，再看當λ＞1時得出_≥，即_{≥，代入，原式得證}．
解答：（1）解：由已知x₁=x₂=1，且
∴x₃=λ，同理可知x₄=λ³，x₅=λ⁶，若x₁、x₃、x₅成等比數列，則x₃²=x₁x₅，即λ²=λ⁶．而λ≠0，解得λ=±1．
（2）證明：（Ⅰ）由已知λ＞0，x₁=x₂=1及y₁=y₂=2，可得x_n＞0，y_n＞0．由不等式的性質，有_≥…≥
=λ^n-1；
另一方面，_=…=λ^n-1．
因此，₌（n∈N^*）．故（n∈N^*）．
（Ⅱ）當λ＞1時，由（Ⅰ）可知，y_n＞x_n≥1（n∈N^*）．
又由（Ⅰ）（n∈N^*），則_≥，
從而_≥（n∈N^*）．
_∴
點評：本題以數列的遞推關系為載體，結合等比數列的等比中項及前n項和的公式，運用不等式的性質及證明等基礎知識進行運算和推理論證．