Question

（2006•廣州一模）已知數列{x_n}滿足下列條件：x₁=a，x₂=b，x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0（n∈N^*且n≥2），其中a、b為常數，且a＜b，λ為非零常數．
（Ⅰ）當λ＞0時，證明：x_n+1＞x_n（n∈N^*）；
（Ⅱ）當|λ|＜1時，求

lim

n→∞

xn．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設得x_n+1-x_n=λ（x_n-x_n-1），由x₂-x₁=b-a＞0，知：數列{x_n+1-x_n}是首項為b-a，公比為λ的等比數列，由此能夠證明x_n+1＞x_n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由x_n+1-λx_n=x_n-λx_n-1=…=x₂-λx₁=b-λa及x_n+1＞x_n（n∈N^*），知xn=

b-λa-(b-a)•λn-1

1-λ

，由|λ|＜1，知

lim

n→∞

λn-1=0，由此能求出

lim

n→∞

xn．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0（n∈N^*且n≥2），λ為非零常數，
∴x_n+1-x_n=λ（x_n-x_n-1），
∵x₁=a，x₂=b，其中a、b為常數，且a＜b，
∴x₂-x₁=b-a＞0，
∴數列{x_n+1-x_n}是首項為b-a，公比為λ的等比數列，
故xn+1-xn=(b-a)•λn-1，
∵λ＞0，
∴x_n+1-x_n＞0，
即x_n+1＞x_n（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵x₁=a，x₂=b，x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0（n∈N^*且n≥2），
其中a、b為常數，且a＜b，λ為非零常數．
∴x_n+1-λx_n=x_n-λx_n-1=…=x₂-λx₁=b-λa，
即x_n+1-λx_n=b-λa，
∴λx_n=x_n+1-（b-λa），①
∵x_n+1＞x_n（n∈N^*），xn+1-xn=(b-a)•λn-1，
∴xn=xn+1-(b-a)•λn-1，②
②-①，得（1-λ）x_n=b-λa-（b-a）•λ^n-1，
∴xn=

b-λa-(b-a)•λn-1

1-λ

，
∵|λ|＜1，
∴

lim

n→∞

λn-1=0，
∴

lim

n→∞

xn=

lim

n→∞

b-λa-(b-a)•λn-1

1-λ

=

b-λa

1-λ

．

點評：本題考查數列與不等式的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，注意極限的靈活運用．