Question

如果函數的定義域為R，對于定義域內的任意，存在實數使得成立，則稱此函數具有“性質”。

(1)判斷函數是否具有“性質”，若具有“性質”，求出所有的值；若不具有“性質”，說明理由；

(2)已知具有“性質”，且當時，求在上有最大值；

(3)設函數具有“性質”，且當時，.若與交點個數為2013，求的值.

 

Answer 1

(1) ，(2) 當時，，當時，， (3) .

【解析】

試題分析：(1)新定義問題，必須從定義出發,實際是對定義條件的直譯. 由得 ，(2)由 性質知函數為偶函數. ∴當時，∵在單調增，∴時，，當時，∵在單調減，在上單調增，又，∴時， ，當時，∵在單調減，在上單調增，又，∴時，. (3) ∵函數具有“性質” ∴∴∴函數是以2為周期的函數. 當時，為偶函數，因此易得函數是以1為周期的函數.結合圖像得: ①當時，要使得與有2013個交點，只要與在區間有2012個交點，而在內有一個交點∴過，從而得,②當時，同理可得,③當時，不合題意, 綜上所述.

(1)由得

∴

∴函數具有“性質”，其中 2分

(2) ∵具有“性質”

∴

設，則，∴

∴ 4分

當時，∵在單調增，∴時， 5分

當時，∵在單調減，在上單調增

又，∴時， 6分

當時，∵在單調減，在上單調增

又，∴時， 7分

綜上得當時，，當時， 8分

(3) ∵函數具有“性質”

∴

∴，

∴函數是以2為周期的函數 9分

設，則，

再設

當，則

當，則

∴對于，都有

而

∴

∴函數是以1為周期的函數 12分

①當時，要使得與有2013個交點，只要與在區間有2012個交點，而在內有一個交點

∴過，從而得 14分

②當時，同理可得

③當時，不合題意

綜上所述 16分

考點：函數奇偶性，函數周期，函數圖像