Question

在直角坐標系內，點實施變換后，對應點為，給出以下命題：
①圓上任意一點實施變換后，對應點的軌跡仍是圓；
②若直線上每一點實施變換后，對應點的軌跡方程仍是則；
③橢圓上每一點實施變換后，對應點的軌跡仍是離心率不變的橢圓；
④曲線：上每一點實施變換后，對應點的軌跡是曲線，是曲線上的任意一點，是曲線上的任意一點，則的最小值為。
以上正確命題的序號是                  （寫出全部正確命題的序號）.

Answer 1

①③④

試題分析：由題意點實施變換后，對應點為，對應曲線來說，就是求曲線關于直線的對應曲線，對于①，因為圓的圓心在直線上，所以圓上任意一點實施變換后，對應點的軌跡仍是圓，所以①正確；
對于②，直線關于直線對稱的曲線方程為，而直線上每一點實施變換后，對應點的軌跡方程仍是，所以，解得，或,所以②不正確；
對于③，橢圓上的每一點實施后，對應的軌跡方程為，對應的離心率不變，故③正確；對于④，令，易求得時，為減函數，當時，為增函數，所以，由對稱性可知，曲線上的點與其關于直線的對稱曲線上的點的最小值為，所以④正確；
故答案為①③④.