Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD 是平行四邊形，平面PBD⊥平面 ABCD，PB=PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分別是BD，PC的中點，連結OM．求證：
（1）OM∥平面PAD；
（2）OM⊥平面PCD．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）連結AC，由三角形中位線的性質可得OM∥PA，由OM?平面PAD，PA?平面PAD，即可判定OM∥平面PAD．
（2）連結PO，可證PO⊥BD，由面面垂直的性質可證明PO⊥平面ABCD，可得PO⊥CD，又CD⊥PC，PC∩PO=P，PC?平面PAC，PO?平面PAC，可證CD⊥平面PAC．從而證明CD⊥OM，
OM⊥PC，又由CD?平面PCD，PC?平面PCD，CD∩PC=C，即可判定OM⊥平面PCD．

解答： 證明：（1）連結AC，
因為ABCD 是平行四邊形，所以O為AC的中點． …（2分）
在△PAC中，因為O，M分別是AC，PC的中點，
所以OM∥PA．…（4分）
因為OM?平面PAD，PA?平面PAD，
所以OM∥平面PAD． …（6分）
（2）連結PO．因為O是BD的中點，PB=PD，
所以PO⊥BD．
又因為平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平
面ABCD=BD，PO?平面PBD
所以PO⊥平面ABCD．
從而PO⊥CD．…（8分）
又因為CD⊥PC，PC∩PO=P，PC?平面PAC，PO?平面PAC，
所以CD⊥平面PAC．
因為OM?平面PAC，所以CD⊥OM． …（10分）
因為PA⊥PC，OM∥PA，所以OM⊥PC．…（12分）
又因為CD?平面PCD，PC?平面PCD，CD∩PC=C，
所以OM⊥平面PCD．…（14分）

點評：本題考查了三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、線面垂直的判定性質定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．