Question

已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，

m

=（b，c），

n

=（cosC，cosB）且

m

•

n

=-2acosA，（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=2

3

，△ABC的面積為

3

，求b，c．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數量積的運算

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標，以及兩向量的數量積運算法則列出關系式，整理求出cosA的值，即可求出角A的度數；
（Ⅱ）利用余弦定理列出關系式，把a，cosA的值代入得到關系式，利用三角形面積公式列出關系式，把sinA的值代入求出bc的值，聯立即可求出b與c的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（b，c），

n

=（cosC，cosB），且

m

•

n

=-2acosA，
∴bcosC+ccosB=-2acosA，
利用正弦定理化簡得：sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=-2sinAcosA，
∵sinA≠0，∴cosA=-

1

2

，
則A=

2π

3

；
（Ⅱ）∵a=2

3

，cosA=-

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=12=b²+c²-2bccosA，即b²+c²+bc=12①，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3

，
∴bc=4②，
聯立①②，解得：b=c=2．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．