Question

已知x，y，z＞0，且2^x=3^y=5^z，試比較

1

2x

，

1

3y

，

1

5z

的大小．

Answer 1

考點：換底公式的應用

專題：函數的性質及應用

分析：設2^x=3^y=5^z=k，（k＞1），則利用指數冪和對數之間的關系，求出x，y，z，利用對數的換底公式即可得到結論．

解答：解：設2^x=3^y=5^z=k，（k＞1），
則x=log₂k，y=log₃k，z=log₅k，
∴

1

2x

=

1

2log2k

=

1

2

logk2=logk

2

，

1

3y

=

1

3log?3k

=

1

3

log?k3=log?k

3	3

，

1

5z

=

1

5log?5k

=

1

5

log?k5=log?k

5	5

，
∵(

2

)6=8，(

3	3

)6=9，∴

2

＜

3	3

∵(

2

)10=25=32，(

5	5

)10=52=25，∴

2

＞

5	5

，
∴

5	5

＜

2

＜

3	3

即

1

5z

＜

1

2x

＜

1

3y

．

點評：本題主要考查數的大小比較，利用對數的運算性質和對數的換底公式是解決本題的關鍵．