Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ，（a＞0，b∈R）
（1）當x≠0時，求證：f（x）=f（ ）；
（2）若函數(shù)y=f（x），x∈[ ，2]的值域為[5，6]，求f（x）；
（3）在（2）條件下，討論函數(shù)g（x）=f（2x）﹣k（k∈R）的零點個數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）證明： ；

∴

（2）解： ， ；

∵ ，a＞0；

∴ 時，f′（x）＜0，x∈（1，2]時，f′（x）＞0；

∴x=1時f（x）取最小值6，即2a+b=5；

∴f（ ）=6，或f（2）=6；

∴ ；

解得a=2，b=1；

∴

（3）解：g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k；

y=2x為增函數(shù)；

∴由（2）知，2x＜1，即x＜0時，g（x）單調(diào)遞減，x＞0時，g（x）單調(diào)遞增；

∴x=0時，g（x）取到最小值5﹣k，x趨向正無窮和負無窮時，g（x）都趨向正無窮；

∴①5﹣k＜0，即k＞5時，g（x）有兩個零點；

②5﹣k=0，即k=5時，g（x）有一個零點；

③5﹣k＞0，即k＜5時，g（x）沒有零點

【解析】（1）把f（x）中的x換上 便可求出 ，整理之后便可得出f（x）= ；（2）將f（x）變成 ，求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)符號：x∈[ ,1）時，f′（x）＜0，x∈（1，2]時，f′（x）＞0，從而得出x=1時f（x）取到最小值5，并且f（ ）=f（2）=6，從而得到 ，這樣即可解出a=2，b=1，從而得出f（x）= ；（3）先求出g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k，根據(jù)（2）便可判斷g（x）的單調(diào)性，從而得出g（x）最小值為5﹣k，這樣討論5﹣k和0的關(guān)系即可得出g（x）零點的情況．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的值域的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的．