Question

7．如圖，過點E（1，0）的直線與圓O：x²+y²=4相交于A、B兩點，過點C（2，0）且與AB垂直的直線與圓O的另一交點為D．
（1）當點B坐標為（0，-2）時，求直線CD的方程；
（2）求四邊形ABCD面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）當B（0，-2）時，直線AB的斜率為2，由CD與AB垂直，直線CD的斜率為-$\frac{1}{2}$，由此能求出直線CD的方程．
（2）當直線AB與x軸垂直時，AB=2$\sqrt{3}$，CD=4，四邊形ACBD的面積，當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB方程為kx-y-k=0，則直線CD方程為x+ky-2=0，求出點O到直線AB的距離，從而得到弦長AB和CD，由此利用配方法能求出四邊形ACBD面積的最大值．

解答 解：（1）當B（0，-2）時，直線AB的斜率為$\frac{0-（-2）}{1-0}=2$，
∵CD與AB垂直，∴直線CD的斜率為-$\frac{1}{2}$，
∴直線CD的方程為y=-$\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-2=0．
（2）當直線AB與x軸垂直時，AB=2$\sqrt{3}$，CD=4，
∴四邊形ACBD的面積S=$\frac{1}{2}AB•CD=4\sqrt{3}$，
當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB方程為y=k（x-1），
即kx-y-k=0，
則直線CD方程為y=-$\frac{1}{k}（x-2）$，即x+ky-2=0，
點O到直線AB的距離為$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴AB=2$\sqrt{4-（\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{3{k}^{2}+4}{{k}^{2}+1}}$，
CD=2$\sqrt{4-（\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}）^{2}}$=4$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$，
則四邊形ACBD面積S=$\frac{1}{2}AB•CD$=$\frac{1}{2}•2\sqrt{\frac{3{k}^{2}+4}{{k}^{2}+1}}•4\sqrt{\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=4$\sqrt{\frac{（3{k}^{2}+4）{k}^{2}}{（{k}^{2}+1）^{2}}}$，
令k²+1=t＞1（當k=0時，四邊形ACBD不存在），
∴$S=4\sqrt{\frac{（3t+1）（t-1）}{{t}^{2}}}$=4$\sqrt{4-（\frac{1}{t}+1）^{2}}$∈（0，4$\sqrt{3}$），
∴四邊形ABCD面積S的最大值為4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線方程的求法，考查四邊形面積的最大值的求法，考查圓、直線方程、點到直線距離公式、弦長公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．