Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

與x=1時都取得極值
（1）求a，b的值與函數f（x）的單調區間
（2）若f（0）=1，且對x∈[-1，2]，不等式f（x）＜m+1恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，由于函數f（x）在x=-

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3

與x=1時都取得極值，可得f′(-

2

3

)=f′（1）=0，解出即可得出a，b．列出表格即可得出單調性極值．
（2）對x∈[-1，2]，不等式f（x）＜m+1恒成立?f（x）_max＜m+1，利用（1）的單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）函數f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函數f（x）在x=-

2

3

與x=1時都取得極值，
∴f′(-

2

3

)=f′（1）=0，
∴

4 3 - 4a 3 +b=0 3+2a+b=0

，
解得a=-

1

2

，b=-2．
∴f′(x)=3(x+

2

3

)(x-1)，
當x變化時，f′（x），f（x）變化如下表：

x	(-∞，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴函數f（x）的遞增區間是(-∞，-

2

3

)，（1，+∞），遞減區間是(-

2

3

，1)；
（2）f（0）=1，∴c=1．∴f(x)=x3-

1

2

x2-2x+1，x∈[-1，2]．
當x=-

2

3

時，f(-

2

3

)=

49

27

為極大值．而f（2）=3，則f（2）=3為最大值，
要使f（x）＜m+1恒成立，則只需要3＜m+1，
解得m＞2，
∴實數m的取值范圍為m＞2．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、閉區間上的最值，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．