Question

已知函數f（x）=

3

sinωx（A＞0，ω＞0）的部分圖象如圖所示．P、Q分別是圖象上的一個最高點和最低點，R為圖象與x軸的交點，且四邊形OQRP為矩形．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）將y=f（x）的圖象向右平移

1

2

個單位長度后，得到函數y=g（x）的圖象．已知α∈(

3

2

，

5

2

)，g（α）=

3

3

，求f（α）的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計算題,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）設函數f（x）的最小正周期為T，則P（

T

4

，

3

）、Q （

3T

4

，-

3

），由四邊形為矩形得

.

OP

•

.

OQ

=

3

16

T²-3=0，故T=4，ω=

π

2

，即可得f（x）=

3

sin

π

2

x．  
（Ⅱ）y=g（x）=f（x-

1

2

）=

3

sin（

π

2

x-

π

4

）可得sin（

π

2

α-

π

4

）=

1

3

，又α∈(

3

2

，

5

2

)，可求得cos（

π

2

α-

π

4

）=-

2 2

3

，從而可求f（α）的值．

解答： 解：（Ⅰ）設函數f（x）的最小正周期為T，則P（

T

4

，

3

）、Q （

3T

4

，-

3

），（2分）
∵四邊形OQRP為矩形．∴OP⊥OQ，∴

.

OP

•

.

OQ

=

3

16

T²-3=0，∴T=4．           （5分）
∴ω=

2π

T

=

2π

4

=

π

2

，∴f（x）=

3

sin

π

2

x．                                 （7分）
（Ⅱ）y=g（x）=f（x-

1

2

）=

3

sin（

π

2

x-

π

4

），（8分）
∵g（α）=

3

sin（

π

2

α-

π

4

）=

3

3

，∴sin（

π

2

α-

π

4

）=

1

3

．                          （10分）
又α∈(

3

2

，

5

2

)，∴

π

2

α-

π

4

∈（

π

2

，π），∴cos（

π

2

α-

π

4

）=-

2 2

3

．               （12分）
∴f（α）=

3

sin

π

2

α=

3

sin[（

π

2

α-

π

4

）+

π

4

]=

3

[sin（

π

2

α-

π

4

）cos

π

4

+cos（

π

2

α-

π

4

）sin

π

4

]
=

3

[

1

3

×

2

2

+(-

2 2

3

)×

2

2

]=

6 -4 3

6

．                                  （14分）

點評：本題主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于基本知識的考查．