Question

12．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＜0時，f（x）=x²-x-1，則函數f（x）的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-1，x＜0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}-x+1，x＞0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由題意得f（0）=0，由x＜0時f（x）的解析式，結合函數的奇偶性求出x＞0時f（x）的解析式．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（0）=0；
又∵x＜0時，f（x）=x²-x-1，
∴x＞0時，-x＜0；
∴f（-x）=（-x）²-（-x）-1=x²+x-1，
又f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-（x²+x-1）=-x²-x+1；
綜上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-1，x＜0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}-x+1，x＞0}\end{array}\right.$．
故答案為：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-1，x＜0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}-x+1，x＞0}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了利用函數的奇偶性求函數解析式的問題，解題時應注意題目中定義在R上的奇函數即f（0）=0，是基礎題．