Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數，），在處的切線為.

（1）求函數的解析式；

（2）在軸上是否存在一點，使得過點可以作的三條切錢？若存在，請求出橫坐標為整數的點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在橫坐標為整數的點，過該點可以作的三條切線.

【解析】分析：(1) 求出f（x）的導數，由切線方程可得切線斜率和切點坐標，可得a=2，即可得到f（x）的解析式；(2) 令，設圖象上一點，，該處的切線, 又過點則 過作3條不同的切線，則方程有3個不同實根,進而構造，圖象與軸有3個不同交點

詳解：（1），

由題意可知

，，即

（2），令，

設圖象上一點，，

該處的切線

又過點則 ①

過作3條不同的切線，則方程①關于有3個不同實根

令，圖象與軸有3個不同交點

（1）當，，是單調函數，不可能有3個零點

（2）當，或時，當時，

所以在單調遞減，單調遞增，單調遞減

曲線與軸有個交點，應該滿足

，，當，又，所以無解

（3）當，或時，，當時，

在單調遞減，單調遞增，單調遞減，應滿足

，，當，又，無解，

綜上，不存在橫坐標為整數的點，過該點可以作的三條切線.