Question

【題目】設函數f（x）=|2x﹣a|， （Ⅰ）若a=4，求f（x）≤x的解集；
（Ⅱ）若f（x+1）＞|2﹣a|對x∈（0，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若a=4，則f（x）≤x可化為|2x﹣4|≤x， 法1：即 或 ，
解得 ，
所以f（x）≤x的解集為 ；
法2：即 ，
解得 ，
所以f（x）≤x的解集為 ；
法3：即 ，
即 解得 ，
所以f（x）≤x的解集為 ；
（Ⅱ）法1：f（x+1）＞|2﹣a|對x∈（0，+∞）恒成立
即f（x+1）＞f（1）對x∈（0，+∞）恒成立，
又因為f（x）=|2x﹣a|在 上單調遞減，在 上單調遞增，
所以 解得a≤2，
所以實數a的取值范圍為（﹣∞，2]；
法2：f（x+1）＞|2﹣a|對x∈（0，+∞）恒成立
即|2x+2﹣a|＞|2﹣a|對x∈（0，+∞）恒成立
等價于（2x+2﹣a）2＞（2﹣a）2對x∈（0，+∞）恒成立，
即a＜2+x對x∈（0，+∞）恒成立，
所以a≤2
所以實數a的取值范圍為（﹣∞，2]
【解析】（Ⅰ）法一：通過討論2x﹣4的范圍，得到關于x的不等式組，解出取并集；法二：根據題意得出x≥0，再去絕對值即可，法三：根據題意得出x≥0，兩邊平方解出即可；（Ⅱ）法一：問題轉化為f（x+1）＞f（1）對x∈（0，+∞）恒成立，結合函數的單調性問題，求出a的范圍即可；法二：等價于（2x+2﹣a）2＞（2﹣a）2對x∈（0，+∞）恒成立，求出a的范圍即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號)．