Question

【題目】拋物線：上的點到其焦點的距離是.

（1）求的方程．

（2）過點作圓：的兩條切線，分別交于兩點，若直線的斜率是，求實數的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1

【解析】分析：第一問利用拋物線的定義，將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到其準線的距離，列出等量關系式，求得p的值，進而求得拋物線的方程；第二問先設出拋物線上的兩個點的坐標，應用兩點斜率坐標公式，求得，利用點M的坐標，得到兩條切線的斜率，之后應用過圓外一點作圓的切線，設其斜率為k，利用圓心到切線的距離等于半徑，得到關于k的方程，應用兩根和得到，進一步求得結果.

詳解：（1）的準線是，根據拋物線定義有，．

故的方程是．

（2）設，，則，所以

因為，所以斜率，同理斜率，所以．

可設經過點的圓切線方程是，即，則，得，故．

因此，．