Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若函數f（x）有兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2），且不等式f（x1）≥mx2恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=2x﹣2+ = （x＞0），

令f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，

①當△=4﹣8a≤0，即a≥ 時，f'（x）≥0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

②當△=4﹣8a＞0即a＜ 時，由2x2﹣2x+a=0，得x= ，

由f'（x）＞0，得0＜x＜ 或x＞ ，

由f'（x）＜0，得 ＜x＜ ，

a≤0時， ≤0，f（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，

0＜a＜ 時，得 ＞0，

f（x）在（0， ）遞減，在（ ， ）遞增，

在（ ，+∞）遞減；

綜上，當a≥ 時，f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，+∞）；

當0＜a＜ 時，f（x）的單調遞增區(qū)間是（0， ），（ ，+∞），

單調遞減區(qū)間是（ ， ）；

a≤0時，f（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）遞增

（2）解：函數f（x）在（0，+∞）上有兩個極值點，

由（1）可得0＜a＜ ，

由f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，則x1+x2=1，x1= ，x2= ，

由0＜a＜ ，可得0＜x1＜ ， ＜x2＜1，

=1﹣x1+ +2x1lnx1，

令h（x）=1﹣x+ +2xlnx，（0＜x＜ ），h′（x）=﹣1﹣ +2lnx，

由0＜x＜ ，則﹣1＜x﹣1＜﹣ ， ＜（x﹣1）2＜1，﹣4＜﹣ ＜﹣1，

又2lnx＜0，則h′（x）＜0，即h（x）在（0， ）遞減，

即有h（x）＞h（ ）=﹣ ﹣ln2，即 ＞﹣ ﹣ln2，

即有實數m的取值范圍為（﹣∞，﹣ ﹣ln2]

【解析】（1）求出f（x）的導數，令f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，對判別式討論，即當a≥ 時，當0＜a≤ 時，a≤0時，令導數大于0，得增區(qū)間，令導數小于0，得減區(qū)間；（2）函數f（x）在（0，+∞）上有兩個極值點，由（Ⅱ）可得0＜a＜ ，不等式f（x1）≥mx2恒成立即為 ≥m，求得 =1﹣x1+ +2x1lnx1 ， 令h（x）=1﹣x+ +2xlnx（0＜x＜ ），求出導數，判斷單調性，即可得到h（x）的范圍，即可求得m的范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．