Question

設a+b=1，b＞0，則當a=

 

時，

1

|a|

+

4|a|

b

取得最小值．

Answer 1

分析：根據a+b=1，將

1

|a|

+

4|a|

b

轉化為

a

|a|

+

b

|a|

+

4|a|

b

，然后討論a的符號，利用基本不等式進行求解．

解答：解：∵a+b=1，b＞0，
∴b=1-a＞0，
解得a＜1，由題意知a≠0，∴a＜1且a≠0．
則

1

|a|

+

4|a|

b

=

a+b

|a|

+

4|a|

b

=

a

|a|

+

b

|a|

+

4|a|

b

，
①若0＜a＜1，則

1

|a|

+

4|a|

b

=

a

|a|

+

b

|a|

+

4|a|

b

=1+

b

a

+

4a

b

≥1+2

b a ? 4a b

=1+2×2=5，
當且僅當

b

a

=

4a

b

，即b=2a，時取等號，
∵a+b=1，∴解得a=

1

3

時取等號．
②若a＜0，則

1

|a|

+

4|a|

b

=

a

|a|

+

b

|a|

+

4|a|

b

=-1-（

b

a

+

4a

b

）=-1+(-

b

a

-

4a

b

)≥-1+2

(- b a )?(- 4a b )

=-1+2×2=3，
當且僅當(-

b

a

)=(-

4a

b

)，即b²=4a²時取等號，解b=-2a
∵a+b=1，∴解得a=-1時取等號，
綜上

1

|a|

+

4|a|

b

取得最小值為3，此時a=-1．
故答案為：-1．

點評：本題主要考查基本不等式的應用，利用條件將

1

|a|

+

4|a|

b

轉化為

a

|a|

+

b

|a|

+

4|a|

b

是解決本題的關鍵，注意對a進行討論，綜合性較強，難度較大．