Question

（2013•鹽城二模）設函數fn(x)=-xn+3ax+b（n∈N^*，a，b∈R）．
（1）若a=b=1，求f₃（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（2）若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，求a的取值范圍；
（3）若|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值為

1

2

，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）把a，b的值代入函數解析式求出f3(x)=-x3+3x+1，求導后利用導函數的零點將（0，2）分段，由單調性判出極值點，求出極值，再求出端點值，則f₃（x）在[0，2]上的最大值和最小值可求；
（2）根據對任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，說明當x取兩個特殊值-1和1時|f₃（1）-f₃（-1）|≤1成立，由此求出a的初步范圍，然后把原函數f₃（x）求導，得到導函數的兩個零點為-

a

，

a

，再求出函數f₃（x）在（-1，1）上的極大值和極小值，再由極大值和極小值差的絕對值小于等于1求出a的取值范圍，和由|f₃（1）-f₃（-1）|≤1求出的a的范圍取交集即可；
（3）由|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值為

1

2

，則x取-1和1時的函數值都在-

1

2

和

1

2

之間，聯立解出b的范圍，再由x取0時的函數值也在-

1

2

和

1

2

之間，得到b的范圍，兩者結合即可求出b的值，把b的值代入x取-1和1時的式子，即可得到a的值．

解答：解：（1）由fn(x)=-xn+3ax+b，所以當a=b=1時，f3(x)=-x3+3x+1
則

f

′ 3

(x)=-3x2+3=-3（x²-1）．
在（0，1）內，

f

′ 3

(x)＞0，在（1，2）內，

f

′ 3

(x)＜0，
所以在（0，1）內，f3(x)=-x3+3x+1為增函數，在（1，2）內f3(x)=-x3+3x+1為減函數．
則f₃（x）的極大值為f₃（1）=3，由f₃（0）=1，f3(2)=-23+3×2+1=-1．
所以函數f3(x)=-x3+3x+1在[0，2]上的最大值為f₃（1）=3，最小值為f₃（2）=-1；
（2）因為對任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，
所以|f₃（1）-f₃（-1）|≤1，從而有|（-1+3a+b）-（1-3a+b）|=|6a-2|≤1，
所以

1

6

≤a≤

1

2

．
又

f

′ 3

(x)=-3x2+3a=-3（x²-a），
在[-1，-

a

]，[

a

，1]內f′₃（x）＜0，
所以f₃（x）在[-1，-

a

]，[

a

，1]內為減函數，
f₃（x）在[-

a

，

a

]內為增函數，
只需|f3(

a

)-f3(-

a

)|≤1，則|(-(

a

)3+3a

a

+b)-((

a

)3-3a

a

+b)|≤1
即4a

a

≤1，解得：a≤

1

3 16

．
所以a的取值范圍是

1

6

≤a≤

1

3 16

．
（3）f4(x)=-x4+3ax+b．
由f₄（x）在[-1，1]上的最大值為

1

2

，則|f4(x)|≤

1

2

，
所以-

1

2

≤f4(1)≤

1

2

，即-

1

2

≤-1+3a+b≤

1

2

①
-

1

2

≤f4(-1)≤

1

2

，即-

1

2

≤-1-3a+b≤

1

2

②
①+②得，

1

2

≤b≤

3

2

，又因為-

1

2

≤f4(0)≤

1

2

，所以-

1

2

≤b≤

1

2

，所以b=

1

2

．
將b=

1

2

代入①得：0≤a≤

1

3

，
將b=

1

2

代入②得：-

1

6

≤a≤0．
所以a=0．
綜上知a，b的值分別為0，

1

2

．

點評：本題考查了利用導數研究函數的最值，考查了數學轉化思想方法，解答此題的關鍵是特值化思想的應用，求具體參數的值時運用了“兩邊夾”的思想方法，屬有一定難度題．