Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，點E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.

（1）求證：PA∥平面BDE；

（2）求證：PB⊥平面DEF.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）連結AC，設AC交BD于O，連結EO，利用中位線定理以及線面平行的判定定理，即可證明；

（2）先利用線面垂直的判定定理以及線面垂直的性質得出BC⊥DE， DE⊥PB，最后利用線面垂直的判定定理得出PB⊥平面DEF.

證明：（1）連結AC，設AC交BD于O，連結EO

∵底面ABCD是矩形，∴點O是AC的中點

又∵點E是PC的中點，∴PA∥EO

∵EO平面BDE，PA平面BDE

∴PA∥平面BDE.

（2）PD⊥底面ABCD，BC底面ABCD

∴PD⊥BC

∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥BC

∵PD∩CD＝D，PD，CD平面PDC

∴BC⊥平面PDC

∵DE平面PDC，∴BC⊥DE

∵PD＝DC，E是PC的中點，∴DE⊥PC

∵PC∩BC＝C，PC 平面PBC，BC 平面PBC

∴DE⊥平面PBC，PB平面PBC

∴DE⊥PB

又∵EF⊥PB，DE∩EF＝E，DE平面DEF，EF平面DEF

∴PB⊥平面DEF.