Question

18．已知四面體ABCD各棱長都等于1，點E，F分別是AB，CD的中點，則異面直線AF與CE所成角的余弦值為（　　）

• A． -$\frac{2}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由題意可得四面體A-BCD為正四面體，如圖，連接BE，取BE的中點K，連接FK，則FK∥CE，故∠AFK即為所求的異面直線角或者其補角．利用等邊三角形的性質、勾股定理、余弦定理即可得出．

解答 解：由題意可得四面體A-BCD為正四面體，如圖，連接BE，取BE的中點K，連接FK，則FK∥CE，
故∠AFK即為所求的異面直線角或者其補角．
不妨設這個正四面體的棱長為2，在△AKF中，AF=$\sqrt{3}$=CE，KF=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，KE=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
AK=$\sqrt{A{E}^{2}+K{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
△AKF中，由余弦定理可得 cos∠AFK=$\frac{A{F}^{2}+F{K}^{2}-A{K}^{2}}{2AF•FK}$=$\frac{2}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了正四面題的性質等邊三角形的性質、勾股定理、余弦定理、空間位置關系，考查了推理能力，屬于中檔題．