Question

已知雙曲線-=1的離心率e＞1+，左、右焦點分別為F₁、F₂，左準線為l，能否在雙曲線的左支上找一點P，使得|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項？

Answer 1

【答案】分析：設左支上存在P點，由雙曲線的第二定義知|PF₂|=e|PF₁|，再由雙曲線的第一定義，得|PF₂|-|PF₁|=2a由此推導出e²-2e-1≤0，解得1＜e≤1+與已知e＞1+矛盾．從而斷定在雙曲線左支上找不到點P，使得|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項．
解答：解：設在左支上存在P點，使|PF₁|²=|PF₂|•d，由雙曲線的第二定義知
==e，即|PF₂|=e|PF₁|①
再由雙曲線的第一定義，得|PF₂|-|PF₁|=2a．②
由①②，解得|PF₁|=，|PF₂|=，
∵|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，
∴+≥2c．③
利用e=，由③得e²-2e-1≤0，
解得1-≤e≤1+．
∵e＞1，
∴1＜e≤1+與已知e＞1+矛盾．
∴在雙曲線左支上找不到點P，使得|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項．
點評：本題是雙曲線的綜合題，綜合利用雙曲線的第一定義和第二定義求解，在解題時要注意反證法的運用．