Question

已知雙曲線-=1的離心率e>1+,左、右焦點分別為F₁、F₂,左準線為l,能否在雙曲線的左支上找到一點P,使得|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項?

Answer 1

解析:設在左支上存在P點,使|PF₁|²=|PF₂|·d.

由雙曲線的第二定義,知?

= =e,即|PF₂|=e|PF₁|.①

再由雙曲線的第一定義,得|PF₂|-|PF₁|=2a.②?

由①②解得|PF₁|=,|PF₂|=.?

在△PF₁F₂中,有|PF₁|+|PF₂|≥2c,

即+≥2c.③?

利用e=,由③式得e²-2e-1≤0.

解得1-2≤e≤1+2.

又由e>1,得11+2矛盾.

因此符合條件的點P不存在.