Question

19．已知指數函數y=g（x）滿足：g（2）=4，定義域為R的函數f（x）=$\frac{-g（x）+a}{2g（x）+b}$是奇函數．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性（直接寫出結論不用證明 ）
（3）若對任意的t∈[0，1]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數奇偶性的性質建立方程關系即可求a，b的值；
（2）函數f（x）是R是上的單調遞減函數．
（3）根據函數解析式求出函數的單調性，利用參數分離法進行求解即可

解答 解：（1）設g（x）=m^x（m＞0，m≠1）∵g（2）=4，∴m²=4，∴m=2，∴g（x）=2^x．
∴f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{2•{2}^{x}+b}$，
∵定義域為R的函數f（x）=$\frac{-g（x）+a}{2g（x）+b}$是奇函數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f（-1）=-f（1）}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
（2）函數f（x）是R上的單調遞減函數．
（3）∵f（2t²-2t）+f（2t²-k）＞0對于任意的t∈[0，1]恒成立，
∴f（t²-2t）＞-f（2t²-k）．
∵定義域為R的函數f（x）是奇函數，
∴f（t²-2t）＞f（k-2t²）．
∵函數f（x）是R上的減函數，∴t²-2t＜k-2t²，
∴k＞3t²-2t=2（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$對于任意的t∈[0，1]恒成立，
令H（x）=3t²-2t  t∈[0，1]，
只需k＞H（x）的最大值即可，
H（x）的最大值為H（1）=1，
∴k＞1．

點評 本題主要考查函數奇偶性的應用，以及不等式恒成立，利用函數奇偶性的定義建立方程關系是解決本題的關鍵．