Question

“a＞0”是“函數f（x）=ax³-x²+x+1在R上為增函數”的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：由f（x）的解析式求出f（x）的導函數，因為函數在R上單調遞增，所以得到導函數大于等于0恒成立，分a大于0，a等于0和a小于0三種情況討論，利用二次函數的圖象與x軸的交點及開口方向即可得到根的判別式的正負，得到關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍，最后根據充要條件的定義即可得出答案．

解答：解：由函數f（x）=ax³-x²+x+1，得到f′（x）=3ax²-2x+1，
因為函數在R上單調遞增，所以f′（x）≥0恒成立，即3ax²-2x+1≥0恒成立，
設h（x）=3ax²-2x+1，
當a＞0時，h（x）為開口向上的拋物線，要使h（x）≥0恒成立即△=4-12a≤0，解得a≥

1

3

；
當a=0時，得到h（x）=-2x+1≥0，解得x≤

1

2

，不合題意；
當a＜0時，h（x）為開口向下的拋物線，要使h（x）≥0恒成立不可能．
綜上，a的范圍為[

1

3

，+∞）．
又a∈[

1

3

，+∞）⇒a＞0，反之不成立．
故“a＞0”是“函數f（x）=ax³-x²+x+1在R上為增函數”的必要不充分條件．
故選B．

點評：此題考查學生會利用導函數的正負判斷函數的單調性，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，考查了分類討論的數學思想，是一道綜合題．