Question

設實數a，b滿足a≠b，求證：a⁴+b⁴＞ab（a²+b²）．

Answer 1

分析：直接利用作差法化簡表達式為因式乘積的形式，判斷因式的符號，推出結果．

解答：選修4-5：不等式選講
證明：作差得a⁴+b⁴-ab（a²+b²）=a³（a-b）+b³（b-a）=（a-b）²（a²+ab+b²）．         …（4分）
=（a-b）²[（a+

b

2

）²+

3b2

4

]．                                  …（6分）
因為a≠b，所以a，b不同時為0，故（a+

b

2

）²+

3b2

4

＞0，（a-b）²＞0，
所以（a-b）²[（a+

b

2

）²+

3b2

4

]＞0． 
即有a⁴+b⁴＞ab（a²+b²）．  …（10分）

點評：本題考查不等式的證明，綜合法的應用，考查邏輯推理能力．