Question

(本題滿分14分)設有拋物線C：，通過原點O作C的切線，使切點P在第一象限.
（1）求m的值，以及P的坐標；
（2）過點P作切線的垂線，求它與拋物線的另一個交點Q；
（3）設C上有一點R，其橫坐標為，為使DOPQ的面積小于DPQR的面積，試求的取值范圍.

Answer 1

（1）斜率k=，P的坐標為（2，1）
（2）Q點的坐標為（，－4）
（3）t的取值范圍為t<或t>.

設點P的坐標為（x₁， y₁），則y₁=kx₁……①，y₁= –+x₁ – 4……②，
①代入②，得：+（k–）x₁+4=0…………………………………………………2分
因為點P為切點，所以（k–）²–16=0，得：k=或k=……………………4分
當k=時x₁= －2，y₁= －17；當k=時，x₁= 2，y₁= 1；
因為點P在第一象限，故所求的斜率k=，P的坐標為（2，1），……………6分
法二：求導
（2）過 P點作切線的垂線，其方程為：y=－2x+5……③，代入拋物線方程，得：
x²－x+9=0，設Q點的坐標為（x₂， y₂），則2x₂=9，所以x₂=，y₂=－4，
所以Q點的坐標為（，－4），………………………………………………10分
（3）設C上有一點R（t，－t²+t–4），它到直線PQ的距離為：
d==……………………………………12分
點O到直線PQ的距離PO =，S_DOPQ=´PQ´OP，S_DPQR=´PQ´d，
因為DOPQ的面積小于DPQR的面積，S_DOPQ < S_DPQR，
        即：OP < d，即：>5，……………………………………14分
+4>0或+14<0
解之得：t<或t>
所以t的取值范圍為t<或t>.……………………………16分
法二：做平行線