Question

已知拋物線和三個點，過點的一條直線交拋物線于、兩點，的延長線分別交曲線于．
（1）證明三點共線；
（2）如果、、、四點共線，問：是否存在，使以線段為直徑的圓與拋物線有異于、的交點？如果存在，求出的取值范圍，并求出該交點到直線的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）同解析（2）存在，使以為直徑的圓與拋物線有異于的交點，交點到的距離為

（1）證明：設，
則直線的方程：       
即：
因在上，所以①   
又直線方程：
由得：
所以     
同理，
所以直線的方程：   
令得
將①代入上式得，即點在直線上
所以三點共線                           
（2）解：由已知共線，所以 
以為直徑的圓的方程：
由得
所以（舍去），        
要使圓與拋物線有異于的交點，則
所以存在，使以為直徑的圓與拋物線有異于的交點 
則，所以交點到的距離為