【題目】已知動點
到定點
的距離比到定直線
的距離小
.
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）過點
任意作互相垂直的兩條直線
，
，分別交曲線于點
，
和，
.設線段
，
的中點分別為
，
，求證：直線
恒過一個定點；
（3）在（2）的條件下，求
面積的最小值.
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）
【解析】
（1）由題意可知：動點
到定點
的距離等于到定直線
的距離，由此利用拋物線的定義能求出點的軌跡
的方程．
（2）設
兩點坐標分別為
，則點
的坐標為
．由題意可設直線
的方程為
，
，由
，得
．由此利用根的判別式、韋達定理、直線的斜率、直線方程，結合已知條件能證明直線
恒過定點
．
（3）求出
，利用基本不等式能求出三角形面積的最小值．
解：(1)由題意可知：動點到定點的距離等于到定直線的距離.根據拋物線的定義可知，點的軌跡是拋物線.
，
拋物線方程為：
(2)設
，
兩點坐標分別為
，
，則點的坐標為.
由題意可設直線的方程為.
由，得.
.
因為直線與曲線于，兩點，所以
，
.
所以點的坐標為
.由題知，直線
的斜率為
，同理可得點
的坐標為
.
當
時，有
，此時直線的斜率
.
所以，直線的方程為
，整理得
.
于是，直線恒過定點
；
當
時，直線的方程為
，也過點.
綜上所述，直線恒過定點.
(3)可求得.所以
面積
.
當且僅當時，“
”成立，所以面積的最小值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線l的參數方程為
（t為參數），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點.求
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《九章算術》中有一分鹿問題：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿.欲以爵次分之，問各得幾何.”在這個問題中，大夫、不更、簪裊、上造、公士是古代五個不同爵次的官員，現皇帝將大夫、不更、簪梟、上造、公士這5人分成兩組（一組2人，一組3人），派去兩地執行公務，則大夫、不更恰好在同一組的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，上、下頂點分別為
，若
，點
關于直線
的對稱點在橢圓
上.
（1）求橢圓的方程與離心率；
（2）過點
做直線
與橢圓
相交于兩個不同的點
；若
恒成立，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，某班一次數學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，其中，頻率分布直方圖的分組區間分別為
，據此解答如下問題．
（Ⅰ）求全班人數及分數在
之間的頻率；
（Ⅱ）現從分數在
之間的試卷中任取 3 份分析學生情況，設抽取的試卷分數在
的份數為
，求
的分布列和數學望期．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
，的焦點為
，過點的直線
的斜率為
，與拋物線
交于
，
兩點，拋物線在點，處的切線分別為
，
，兩條切線的交點為
．
（1）證明：
；
（2）若
的外接圓
與拋物線
有四個不同的交點，求直線的斜率的取值范圍．
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【題目】“辛卜生公式”給出了求幾何體體積的一種計算方法：夾在兩個平行平面之間的幾何體，如果被平行于這兩個平面的任何平面所截，截得的截面面積是截面高的（不超過三次）多項式函數，那么這個幾何體的體積，就等于其上底面積、下底面積與四倍中截面面積的和乘以高的六分之一．即
，式中
，
，
，
依次為幾何體的高、上底面積、下底面積、中截面面積．如圖，現將曲線
與直線
及
軸圍成的封閉圖形繞軸旋轉一周得到一個幾何體，則利用辛卜生公式可求得該幾何體的體積為（ ）
A.
B.
C.
D.16
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