Question

【題目】已知命題方程在在存在唯一實數根；，.

（1）若命題為真命題，求實數的取值范圍；

（2）若為真命題，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由為真命題得出，可解出實數的取值范圍；

（2）令，并作出函數在區間上的圖象，得出當直線與函數在上只有一個交點時實數的取值范圍，可得出命題為真命題時實數的取值范圍，由命題為真命題得出，解出對應的實數的取值范圍，再將的兩個取值范圍取交集可得出命題為真命題時的取值范圍.

（1），.

則命題為真命題時，有，則或.

因此，實數的取值范圍是；

（2）若命題為真命題，則真且真.

命題為真命題時，即方程在上存在唯一實數根，

令，則函數在上單調遞增，

問題轉化為，在上存在唯一實數根，

令，則，.

作出函數在上的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當或時，即當或時，直線與函數在上有唯一交點.

當命題為真命題時，有，則.

因此，當為真命題時，的取值范圍是.